Question

如图,将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A₁B₁C₁的位置,AB与A₁C₁相交于点D,AC与A₁C₁、BC₁分别交于点E. F.

(1)求证：△BCF≌△BA₁D.

(2)当∠C=α度时,判定四边形A₁BCE的形状并说明理由。

Answer

(1)证明见解析(2)四边形A1BCE是菱形

【解析】

试题（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；（2）由旋转的性质得到∠A1=∠A，根据平角的定义得到∠DEC=180°﹣α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α，证得四边形A1BCE是平行四边形，由于A1B=BC，即可得到四边形A1BCE是菱形．

试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=BC，∠A=∠C，

∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，

∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，

在△BCF与△BA1D中，

，

∴△BCF≌△BA1D；

（2）【解析】
四边形A1BCE是菱形，

∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，

∴∠A1=∠A，

∵∠ADE=∠A1DB，

∴∠AED=∠A1BD=α，

∴∠DEC=180°﹣α，

∵∠C=α，

∴∠A1=α，

∴∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α，

∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠AEC，

∴四边形A1BCE是平行四边形，

∴A1B=BC，

∴四边形A1BCE是菱形．