Question

如图1，在矩形ABCD中，DB=6，AD=3，在Rt△PEF中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6，△PEF（点F和点A重合）的边EF和矩形的边AB在同一直线上.现将Rt△PEF从A以每秒1个单位的速度向射线AB方向匀速平移，当点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，

解答下列问题：

（1）如图1，连接PD，填空：∠PFD=       ，四边形PEAD的面积是        ；

（2）如图2，当PF经过点D时，求 △PEF运动时间t的值；

（3）在运动的过程中，设△PEF与△ABD重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式.

Answer

（1）300，；（2）；（3）见解析.

【解析】（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE的长，再根据梯形的面积公式求解.

（2）当PF经过点D时，PE∥DA，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得AF=t=；

（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t＜时，②≤t＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S与t的函数关系式即可.

（1）∵在Rt△PEF中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6

∴sin∠P=

∴∠P=30°

∵PE∥AD

∴∠PAD=300，

根据勾股定理可得PE=3，

所以S四边形PEAD=×（3+3）×3=；

（2）当PF经过点D时，PE∥DA，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°，

在Rt△ADF中，由AD=3，得AF=，所以t= ；

（3）分三种情况讨论：

①当0≤t＜时， PF交AD于Q，∵AF=t，AQ=t，∴S=×t×t=；

②当≤t＜3时，PF交BD于K，作KH⊥AB于H，∵AF=t，∴BF=3-t，S△ABD=，

∵∠FBK=∠FKB，∴FB=FK=3-t，KH=KF×sin600=,∴S=S△ABD﹣S△FBK =

③当3≤t≤3时，PE与BD交O，PF交BD于K，∵AF=t，∴AE=t-3，BF=3-t,

BE=3-t+3，OE=BE×tan300=，∴S=。