Question

如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=6．求AF的长．

Answer

2

【解析】

试题方法一，由平行四边形的性质得OD=，解Rt△ODF，求出OF和FD的长. 过O作OG∥AB，交AD于点G，易证△AEF∽△GOF，从而得到AF=GF．然后根据 列方程求解.

方法二，由△ODF≌△OHB可知，OH=OF，从而得到，再由△EAF∽△EBH可得；解直角三角形Rt△BOH,求出BH的长，代入比例式求出AF的长.

【解析】
方法一：

∵□ABCD，∴AD∥BC，OD=BD=．

∵∠CBD=30°，∴∠ADB=30°．

∵EO⊥BD于O，∴∠DOF=90°．

在Rt△ODF中，tan30°=，∴OF=3．∴FD=6．

过O作OG∥AB，交AD于点G，∴△AEF∽△GOF，∴．

∵EF=OF，∴AF=GF．

∵O是BD中点，∴G是AD中点．

设AF=GF=x，则AD=6+x，∴AG=．

解得x=2，∴AF=2．

方法二：延长EF交BC于H．

由△ODF≌△OHB可知，OH=OF．

∵AD∥BC，∴△EAF∽△EBH，∴．

∵EF=OF，∴．

由方法一的方法，可求BH=6，∴AF=2．