Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．

（1）请根据题意补全图1；

（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；

（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长．

Answer

（1）答案见解析；（2）BD=CE；（3）PB的长是或．

【解析】

试题（1）根据题意画出图形即可；（2）根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，从而可得BD=CE;（3）①根据“SAS”可证△ABD≌△ACE,从而得到∠ABD=∠ACE,再由两角对应相等的两个三角形相似可证△ACD∽△PBE,列比例方程可求出PB的长；②与①类似，先求出PD的长，再把PD和BD相加.

【解析】
（1）如图

（2）BD和CE的数量是：BD=CE ；

∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠CAE．

∵AD=AE，AB=AC，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．

（3）①CE= .

∵△ABD≌△ACE, ∴∠ABD=∠ACE,

∴△ACD∽△PBE,

,

∴ ;

②∵△ABD∽△PDC,

,

∴ ;

∴PB=PD+BD= .

∴PB的长是或．