Question

平面直角坐标系中有一点A（1，1）对点A进行如下操作：

第一步，作点A关于x轴的对称点A₁，延长线段AA₁到点A₂，使得2A₁A₂=AA₁；

第二步，作点A₂关于y轴的对称点A₃，延长线段A₂A₃到点A₄，使得2A₃A₄=A₂A₃；

第三步，作点A₄关于x轴的对称点A₅，延长线段A₄A₅到点A₆，使得2A₅A₆=A₄A₅；

……

则点A₂的坐标为　   　，点A₂₀₁₅的坐标为　   　；

若点A_n的坐标恰好为（4^m，4ⁿ）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式　   　．

Answer

（1，﹣2）；（2503，2504），m=n．

【解析】

根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得A1，根据2A1A2=AA1，可得A1是AA2的中点，可得答案；

根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得A3，根据计算，可发现规律：每8次变换一循环：第m循环组：（22m-2，-22m-2）（22m-2，-22m-1），（-22m-2，-22m-1）（-22m-1，-22m-1）（-22m-1，22m-1）（-22m-1，22m）倒数第二个是（22m-1，22m），最后一个是（22m，22m）．

由题意得，A1（1，-1），A2（1，-2），

A3（-1，-2），A4（-2，-2），

A5（-2，2），A6（-2，4），

A7（2，4），A8（4，4），

∵2015÷8=251余7，

∴点A2015为第252循环组的第一象限的倒数第二个点，

∴A2015（2503，2504），

点An的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式m=n．

故答案为：（1，-2）；（2503，2504），m=n．