Question

如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC

（1）尺规作图：在AD上标出一点P，使得点P到点B和点C的距离相等（不写作法，但必须保留作图痕迹）；

（2）过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，求证：BE=CF；

（3）若AB=a，AC=b，则BE=　   　，AE=　   　．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3），.

【解析】

（1）作线段BC 的垂直平分线与AD的交点即为所求．

（2）只要证明△PEB≌△PFC即可．

（3）只要证明△PAE≌△PAF，推出AE=AF，设BE=CF=x，则有a-x=b+x，解方程即可解决问题．

（1）①作线段BC的垂直平分线交AD于P．

点P就是所求的点．

（2）连接PB、PC．

∵∠PAB=∠PAF，PE⊥AB，PF⊥AC，

∴PE=PF，

在Rt△PEB和Rt△PFC中，

，

∴△PEB≌△PFC，

∴BE=CF．

（3）设BE=CF=x，

在Rt∴△PAE和Rt△PAF中，

，

∴△PAE≌△PAF，

∴AE=AF，

∴AB-BE=AC+CF，

∴a-x=b+x，

∴x=，

∴BE=，AE=AB-BE=a-=，

故答案为，．