Question

在等边△ABC外作射线AD，使得AD和AC在直线AB的两侧，∠BAD=α（0°＜α＜180°），点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC．

（1）依题意补全图1；

（2）在图1中，求△BPC的度数；

（3）直接写出使得△PBC是等腰三角形的α的值．

Answer

（1）详见解析；（2）∠BPC=30°；（3）α的值为：30°，75°，120°，165°．

【解析】

（1）根据题意画出图形即可；

（2）点B关于直线AD的对称点为P，得到AP=AB，根据圆周角定理即可解决问题；

（3）根据等腰三角形的性质分四种情形画出图形分别求解即可.

（1）图形如图所示：

（2）点B关于直线AD的对称点为P，

∴AP=AB，

∴∠PAD=∠BAD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∴AP=AB=AC，

∴P，B，C在以A为圆心AP为半径的圆上，

∴∠BPC=∠BAC=30°；

（3）①如图2-1中，当BP=BC时，α=∠BAD=30°．

②如图2-2中，当PB=PC时，α=∠BAD=75°．

③如图2-3中，当CP=BC时，α=∠BAD=120°

④如图2-4中，当BP=PC时，α=∠BAD=165°

综上所述α的值为：30°，75°，120°，165°．