Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）当t=时，四边形AEFD能够成为菱形（3）当t为或20时，△DEF为直角三角形

【解析】

（1）根据时间和速度表示出AE和CD的长，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出DF的长为4t，则AE=DF，再证明，AE∥DF即可解决问题．
（2）根据（1）的结论可以证明四边形AEFD为平行四边形，如果四边形AEFD能够成为菱形，则必有邻边相等，则AE=AD，列方程求出即可；
（3）当△DEF为直角三角形时，有三种情况：①当∠EDF=90°时，如图3，②当∠DEF=90°时，如图4，
③当∠DFE=90°不成立；分别找一等量关系列方程可以求出t的值．

（1）由题意得：AE=2t，CD=4t，

∵DF⊥BC，

∴∠CFD=90°，

∵∠C=30°，

∴DF=CD=×4t=2t，

∴AE=DF；

∵DF⊥BC，

∴∠CFD=∠B=90°，

∴DF∥AE，

∴四边形AEFD是平行四边形．

（2）四边形AEFD能够成为菱形，理由是：

由（1）得：AE=DF，

∵∠DFC=∠B=90°，

∴AE∥DF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

若▱AEFD为菱形，则AE=AD，

∵AC=100，CD=4t，

∴AD=100-4t，

∴2t=100-4t，

t=，

∴当t=时，四边形AEFD能够成为菱形；

（3）分三种情况：

①当∠EDF=90°时，如图3，

则四边形DFBE为矩形，

∴DF=BE=2t，

∵AB=AC=50，AE=2t，

∴2t=50-2t，

t=，

②当∠DEF=90°时，如图4，

∵四边形AEFD为平行四边形，

∴EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°，

在Rt△ADE中，∠A=60°，AE=2t，

∴AD=t，

∴AC=AD+CD，

则100=t+4t，

t=20，

③当∠DFE=90°不成立；

综上所述：当t为或20时，△DEF为直角三角形．