Question

如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（　　）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

D

【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；

先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；

先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；

当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，由P为BC边的中点，得出BN=PB=PC，判断④正确．

①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正确；

②在△ABM与△ACN中．

∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，∴△ABM∽△ACN，∴，正确；

③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°．在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°．

∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；

④当∠ABC=45°时．

∵CN⊥AB于点N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，∴BN=CN．

∵P为BC边的中点，∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形

∴BN=PB=PC，正确．

故选D．