Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．

（1）求证：AB⊥AE；

（2）若BC²=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形．

Answer

（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论。

（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形。

【解析】

（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论。

（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形。

证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°。

∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，∴∠DCE=90°，CD=CE。

∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE。

∵在△BCD和△ACE中，，

∴△BCD≌△ACE（SAS）。∴∠B=∠CAE=45°。

∴∠BAE=45°+45°=90°。∴AB⊥AE。

（2）∵BC2=AD•AB，BC=AC，∴AC2=AD•AB。∴。

∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB。∴∠CDA=∠BCA=90°。

∵∠DAE=90°，∠DCE=90°，∴四边形ADCE为矩形。

∵CD=CE，∴四边形ADCE为正方形。