Question

（2016宁夏）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题：

（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；

（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．

Answer

（1）S=， S不存在最大值，当x=2时，S有最小值，最小值为4；（2）当x=时，QP⊥DP．

【解析】

试题（1）可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，从而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面积，则可表示出S，再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；（2）用x表示出BQ、BP、PC，当QP⊥DP时，可证明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，可求得x的值．

试题解析：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴BC=AD=4，CD=AB=3， 当运动x秒时，则AQ=x，BP=x，

∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x，CP=BC﹣BP=4﹣x，

∴S△ADQ=AD•AQ=×4x=2x，S△BPQ=BQ•BP=（3﹣x）x=x﹣x2，S△PCD=PC•CD=•（4﹣x）•3=6﹣x，

又S矩形ABCD=AB•BC=3×4=12，

∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣（x﹣x2）﹣（6﹣x）=x2﹣2x+6=（x﹣2）2+4，

即S=（x﹣2）2+4， ∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为x=2，

∴当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大，

又当x=0时，S=5，当S=3时，S=，但x的范围内取不到x=0，

∴S不存在最大值，当x=2时，S有最小值，最小值为4；

（2）存在，理由如下：

由（1）可知BQ=3﹣x，BP=x，CP=4﹣x， 当QP⊥DP时，则∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC，

∴∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C， ∴△BPQ∽△PCD，

∴=，即=，解得x=（舍去）或x=，

∴当x=时QP⊥DP．