Question

如图，是将抛物线y=-x² 平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A(-1,0) ，另一交点为B，与y轴交点为C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点N 为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；

（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（1）y=-x2+2x+3；（2）（1，4）; （3）P、Q的坐标是(0,3)(1,3) 或,．

【解析】试题

（1）由题意可设该抛物线的解析式为，代入点（-1，0）求出k的值即可得到所求解析式；

（2）由（1）中所得抛物线的解析式可求得点B、C的坐标，从而可求出直线BC的解析式，由直线NC⊥BC且过点C可求得NC的解析式，把NC的解析式和抛物线的解析式联立得到方程组，解方程组即可求得点N的坐标；

（3）如下图，由题意易得PQ=OA=1，且PQ∥OA，设点P的横坐标为t，则可用含“t”的式子表达出Q的坐标，再把Q的坐标代入函数y=x+ 中，即可解得“t”的值，从而可求得P、Q的坐标.

试题解析：

（1）设抛物线的解析式是y=-（x-1）2+4．把 (-1，0)代入得 0=-（1-1）2+k，

解得，k=4

则抛物线的解析式是 y=-（x-1）2+4，

即y=-x2+2x+3；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），代入点B、C的坐标得：

解得： ，

∴直线BC的解析式为：y=-x+3，

∵BC⊥NC，

∴可设直线CN的解析式为y=x+m.

∵C（0，3）在直线CN上，

∴0+m=3，解得：m=3，即直线CN的解析式为 y=x+3,

由： ，即 x+3=-x2+2x+3=-x2+2x+3，解得：x1=0，x2=1，

∴N的坐标是（1，4）,

（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，

设P(t,-t2+2t+3)，则Q(t+1, -t2+2t+3) ，将P、Q的坐标代入，

得-t2+2t+3=，

整理，得2t2-t=0, ，

解得t=0 或 ．

∴-t2+2t+3 的值为3或．

∴P、Q的坐标是(0,3)(1,3) 或,.