Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM=∠ABC，点D是直线BC上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F．

（1）如图1所示，当点D与点B重合时，延长BA，CM交点N，证明：DF=2EC；

（2）当点D在直线BC上运动时，DF和EC是否始终保持上述数量关系呢？请你在图2中画出点D运动到CB延长线上某一点时的图形，并证明此时DF与EC的数量关系．

Answer

（1）见解析；（2）DF=2CE

【解析】

试题（1）延长BA，CM交点N，先证明BC=BN，得出CN=2CE，再证明△BAF≌△CAN，得出对应边相等BF=CN，即可得出结论；

（2）作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，先证明PD=CD，得出PC=2CE，再证明△DNF≌△PNC，得出对应边相等DF=PC，即可得出结论．

【解析】
（1）如图（1），延长BA，CM交点N，

∵∠A=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠ACM=∠ABC=22.5°，

∴∠BCM=67.5°，

∴∠BNC=67.5°=∠BCM，

∴BC=BN，

∵BE⊥CE，

∴∠ABE=22.5°，CN=2CE，

∴∠ABE=∠ACM=22.5°，

在△BAF和△CAN中，，

∴△BAF≌△CAN（ASA），

∴BF=CN，

∴BF=2CE；

（2）保持上述关系；BF=2CE；

证明如下：

作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，

如图（2）所示：

∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，

∴∠EDC=22.5°，

∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，

∴∠DPC=67.5°，

∴PD=CD，

∴PE=EC，

∴PC=2CE，

∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，

∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，

∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，

在△DNF和△PNC中，，

∴△DNF≌△PNC（ASA），

∴DF=PC，

∴DF=2CE．