Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O作OD∥BC交AB于点D．延长DO交⊙O于点E，作EF⊥AC于点F．连接DF并延长交直线BC于点G，连接EG．

（1）求证：FC=GC；

（2）求证：四边形EDBG是矩形．

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）证明△AOD≌△EOF，得到∠ODF=∠OFD，根据OD∥BC，得到∠FGC=∠ODF，得到∠CFG=∠FGC，得到答案；
（2）证明∠EGC=∠EFC=90°，根据三个角是直角是四边形是矩形得到答案．

（1）∵AC为直径，∴∠ABC=90°，

∵OD∥BC，∴∠ADO=∠ABC=90°，

在△AOD和△EOF中，

∴△AOD≌△EOF，

∴OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD，

∵OD∥BC，∴∠FGC=∠ODF，

又∠GFC=∠OFD，

∴∠CFG=∠FGC，

∴FC=GC；

（2）连接AE、EC，

∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，

∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD，

∴∠OAE=∠OFD，

∴AE∥DG，

∵AC为直径，∴∠AEC=90°，又CF=CG，

∴CE是FG的垂直平分线，

∴△EFC≌△EGC，

∴∠EGC=∠EFC=90°，

又∠EDB=90°，∠ABC=90°，

∴四边形EDBG是矩形．