Question

联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念．

定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．

举例：如图1，若PD=PE，则点P为△ABC的准内心．

应用：如图2，BF为等边三角形的角平分线，准内心P在BF上，且PF=BP，求证：点P是△ABC的内心．

探究：已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，准内心P在AC上，若PC=AP，求∠A的度数．

Answer

应用：见解析，探究：30°

【解析】

应用：由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°，由角平分线的性质∴∠PBE=30°，得到PE= PB，因为BF是等边△ABC的角平分线，由三线合一得到BF⊥AC，PF=BF，证得PE=PD=PF，得到结论P是△ABC的内心；
探究：根据题意得：PD=PC=AP，由锐角三角函数得到结论．

应用：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∵BF为角平分线，

∴∠PBE=30°，

∴PE=PB，

∵BF是等边△ABC的角平分线，

∴BF⊥AC，

∵PF=BF，

∴PE=PD=PF，

∴P是△ABC的内心；

探究：根据题意得：

PD=PC=AP，

∵，

∴∠A是锐角，

∴∠A=30°．