Question

已知抛物线C：y=x²+（2m﹣1）x﹣2m．

（1）若m=1，抛物线C交x轴于A，B两点，求AB的长；

（2）若一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点，求m的取值范围；

 

Answer

（1）AB=3；（2）﹣1≤m≤0时，一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点．

【解析】

（1）求出抛物线解析式令y=0，求出抛物线与x轴的交点，即可求出线段AB的长．

（2）列方程组根据△=0，得：-4m2-4m=（k+1）2，设y=-4m2-4m由y≥O确定m的取值范围．

（1）m=1时，抛物线为：y=x2+x﹣2，

令y=0得到：x2+x﹣2=0，解得x=﹣2或1，

所以点A（﹣2，0），点B（1，0），

所以AB=3．

（2）由消去y得到：x2+（2m﹣1﹣k）x﹣2m﹣mk=0，

∵一次函数y=kx+mk的图象与抛物线有唯一公共点，

∴△=0，

∴（2m﹣1﹣k）2+8m+4mk=0，

整理得：﹣4m2﹣4m=（k+1）2 ，

∵（k+1）2≥0，

设y=﹣4m2﹣4m，当y≥0时，﹣1≤m≤0，

∴﹣1≤m≤0时，一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点．