Question

已知△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于D,与AC相交于F,连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）连接OC,如果∠B=30°,CF=1,求OC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题（1）连接OD，由 OD=OA，可得∠1=∠2，再由BC为⊙O的切线，根据切线的性质可得∠ODB=90°，已知∠C=90°，所以∠ODB=∠C，即可判定OD∥AC，根据平行线的性质可得∠3=∠2，所以∠1=∠3，即可判定AD是∠BAC的平分线；（2）连接DF，已知∠B=30°，可求得∠BAC=60°，再由AD是∠BAC的平分线，可得∠3=30°，已知BC是⊙O的切线，根据弦切角定理可得∠FDC=∠3=30°，所以CD= CF=，同理可得AC=CD=3，所以AF=2，过O作OG⊥AF于G，由垂径定理可得GF=AF=1，四边形ODCG是矩形，所以CG=2，OG=CD=，由勾股定理可得OC=．

试题解析：

（1）证明：连接OD，∴OD=OA，∴∠1=∠2，

∵BC为⊙O的切线，∴∠ODB=90°，∵∠C=90°，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，

∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴AD是∠BAC的平分线；

（2）【解析】
连接DF，∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠3=30°，∵BC是⊙O的切线，∴∠FDC=∠3=30°，

∴CD=CF=，∴AC=CD=3，∴AF=2，

过O作OG⊥AF于G，∴GF=AF=1，四边形ODCG是矩形，

∴CG=2，OG=CD=，∴OC==．