Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,直线y=x+6经过A、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥AC,PQ交直线BC于点Q，设点P的横坐标为t，点Q的横坐标为m,求m与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，作点P关于直线AC的对称点点K,连接QK,当点K落在直线y=-x上时，求线段QK的长.

Answer

(1) y=-x2-x+6；（2）m=t2+t；（3）.

【解析】试题分析:(1)先根据一次函数求出A,C点坐标,然后把A,C代入二次函数解析式解方程组即可求出二次函数解析式,(2)根据PQ∥AC,求可得PQ所在直线解析式中的k,根据P点坐标可表示PQ的直线解析式,然后再联立PQ和BC即可求解,(3)先根据点P关于直线AC的对称点K,根据中点坐标公式表示出点K,然后代入直线y=－x,可求出点K,然后根据两点间距离公式可求解QK.

试题解析:(1) 因为直线y=x+6经过A,C两点,

所以A(－6,0),C(0,6),

因为抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,把A(－6,0),C(0,6)代入可得:

,

解得: ,

所以二次函数解析式为: ,

(2)因为P点在抛物线上,所以P点坐标是(t, ),Q点在直线BC上,

设直线BC的解析式为y=kx+b,根据题意可得:

,解得: ,

所以直线BC的解析式为: y=－2x+6,

因为PQ∥AC,

所以可得为: 解得: ,

所以直线PQ的直线解析式为: y=x+,

将直线PQ和直线BC联立可求得Q的横坐标:

－2x+6= x+,

－3x=,

x= ,

所以m= ,

(3)根据题意可得:直线QK于直线AC垂直,可得:

,解得:

所以直线QK的解析式为: y=－x+,

联立直线QK和直线AC,可求得两直线的交点横坐标:

－x+= x+6,

解得: x=,

所以交点纵坐标为: y=,

根据中点坐标公式可得K的坐标为(,),

因为K在y=－x上,

所以,解得:

因为Q的坐标为(,), K的坐标为(,),

根据两点之间距离公式可得:

QK==.