Question

在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．

（1）当点P在线段AC上时，如图1．

①依题意补全图1；

②若EQ=BP，则∠PBE的度数为　   　，并证明；

（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）

Answer

（1）①作图见解析；②45°（2）见解析.

【解析】

（1）①作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP；②依据题意得到DP=EP，再根据四边形内角和求得∠BPE=90°，根据BP=EP，即可得到∠PBE=45°；

（2）连接PD，PE，依据△CPD≌△CPB，可得DP=BP，∠1=∠2，根据DP=EP，可得∠3=∠1，进而得到∠PEB=45°，∠3=∠4=22.5°，△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．

【解析】
（1）①作图如下：

②如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，

∴DP=BP，∠CDP=∠CBP，

∵P、Q关于直线CD对称，

∴EQ=EP，

∵EQ=BP，

∴DP=EP，

∴∠CDP=∠DEP，

∵∠CEP+∠DEP=180°，

∴∠CEP+∠CBP=180°，

∵∠BCD=90°，

∴∠BPE=90°，

∵BP=EP，

∴∠PBE=45°，

故答案为：45°；

（2）思路：如图，连接PD，PE，

易证△CPD≌△CPB，

∴DP=BP，∠1=∠2，

∵P、Q关于直线CD对称，

∴EQ=EP，∠3=∠4，

∵EQ=BP，

∴DP=EP，

∴∠3=∠1，

∴∠3=∠2，

∴∠5=∠BCE=90°，

∵BP=EP，

∴∠PEB=45°，

∴∠3=∠4=22.5°，

在△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．