Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．

（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．

（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．

Answer

（1）四边形ACGD为平行四边形，理由见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45°得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；

（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论.

（1）【解析】
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AB=BC，

∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，

∴BD===2BC，

∵G为BD的中点，

∴BG=BD=BC，

∴△CBG为等腰直角三角形，

∴∠CGB=45°，

∵∠ADB=45°，

AD∥CG，

∵∠ABD=45°，∠ABC=45°

∴∠CBD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBD+∠ACB=180°，

∴AC∥BD，

∴四边形ACGD为平行四边形；

（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，

∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，

∴∠EAB=∠CAD，

在△DAC与△BAE中，

，

∴△DAC≌△BAE，

∴BE=CD；

∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，

∴四边形ABCE为平行四边形，

∴CE=AB=AD，

在△BCE与△CAD中，

，

∴△BCE≌△CAD，

∴∠CBE=∠ACD，

∵∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠CBE+∠BCD=90°，

∴∠CFB=90°，

即BE⊥CD．