Question

如图，△ABC中，AB=AC，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，∠DFE=∠B．

（1）求证：△CDF∽△BFE；

（2）若EF∥CD，求证：2CF²=AC•CD．

 

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据外角的性质得到∠EFB=∠FDC，由等腰三角形的性质得到∠C=∠B，证得△CDF∽△BFE；

（2）根据平行线的性质得到∠EFD=∠FDC，∠C=∠EFB，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，等量代换得到∠FDC=∠C，推出△CDF∽△BCA，根据相似三角形的性质得到结论．

（1）证明：∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠C+∠FDC，

∴∠EFB=∠FDC，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴△CDF∽△BFE；

（2）∵EF∥CD，

∴∠EFD=∠FDC，

∵∠B=∠C，∠DEG=∠B，

∴∠FDC=∠C=∠B，

∴△CDF∽△BCA，

∴，

∵BC=2CF，DF=CF，

∴，

∴2CF2=AC•CD．