Question

如图，点M是正方形ABCD内一点，△MBC是等边三角形，连接AM、MD对角线BD交CM于点N现有以下结论：

①∠AMD=150°；②；③；④，其中正确的结论有____________（填写序号）

Answer

①②④

【解析】由四边形ABCD是正方形，△BCM是等边三角形，根据正方形的性质、等边三角形的性质可对①作出判断；证明△DMN∽△CMD，即可对②作出判断；设BC=CD=2a，过点M作EH⊥BC于点H，交AD于点E，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得MH=a，从而得EM=2a-a，根据，即可对③作出判断；过点D作DF⊥MC于点F，过点B作BG⊥MC于点G，则可得BG= a ，DF=a，DF//BG，可以得到△DFN∽△BGN，根据相似三角形的性质即可对④作出判断.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，∠ADB=45°，

∵△BCM是等边三角形，

∴BM=MC=BC，∠MBC=∠BMC=∠BCM=60°，

∴∠ABM=∠DCM=30°，AB=BM=CM=CD，

∴∠BAM=∠CMD=∠CDM=75°，

∴∠DAM=∠ADM=15°，∴∠AMD=180°-∠DAM-∠ADM=150°，故①正确；

∵∠DAM=∠ADM=15°，∴AM=MD，

∵∠ADB=45°，∴∠MDN=30°=∠MCD，

∵∠CMD是公共角，

∴△DMN∽△CMD，

∴DM：CM=MN：DM，

∴DM2=MN•CM，

∴AM2=MN•CM，故②正确；

设BC=CD=2a，

过点M作EH⊥BC于点H，交AD于点E，

∵△MBC是等边三角形，∴BH=a，MH=a，∴EM=2a-a，

∵AD=BC，

∴，故③错误；

过点D作DF⊥MC于点F，过点B作BG⊥MC于点G，

则有BG=MH=a ，DF=CD=a，DF//BG，

∴△DFN∽△BGN，

∴，故④正确，

所以正确的结论有①②④，

故答案为：①②④.