Question

已知如图，△ADC和△BDE均为等腰三角形，∠CAD=∠DBE，AC=AD，BD=BE，连接CE，点G为CE的中点，过点E作AC的平行线与线段AG延长线交于点F．

（1）当A，D，B三点在同一直线上时（如图1），求证：G为AF的中点；

（2）将图1中△BDE绕点D旋转到图2位置时，点A，D，G，F在同一直线上，点H在线段AF的延长线上，且EF=EH，连接AB，BH，试判断△ABH的形状，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）△ABH为等腰三角形．理由见解析.

【解析】试题（1）依据AC∥EF，可得∠ACG=∠FEG，根据点G为CE的中点，可得CG=EG，再根据∠AGC=∠FGE，即可得出△ACG≌△FEG，进而得到G为AF的中点；

（2）依据△ACG≌△FEG，可得AC=FE，再根据AC=AD，FE=HE，即可得到AD=HE，运用四边形内角和以及同角的补角相等可得∠BEH=∠BDA，再根据BD=BE，即可得到△ADB≌△HEB，可得AB=HB，即△ABH是等腰三角形．

试题解析：解：（1）∵AC∥EF，∴∠ACG=∠FEG．∵点G为CE的中点，∴CG=EG．又∵∠AGC=∠FGE，∴△ACG≌△FEG，∴AG=FG，∴G为AF的中点；

（2）△ABH为等腰三角形．理由如下：

同（1）可证△ACG≌△FEG，∴AC=FE．又∵AC=AD，FE=HE，∴AD=HE，①

∵AC∥EF，∴∠GFE=∠CAD=∠DBE．∵EF=EH，∴∠EFH=∠EHF．∵∠EFH+∠GFE=180°，∴∠FHE+∠DBE=180°，∴四边形BDHE中，∠BEH+∠BDF=180°．又∵∠BDA+∠BDF=180°，∴∠BEH=∠BDA，②

又∵BD=BE，③

∴由①②③，可得△ADB≌△HEB，∴AB=HB，即△ABH是等腰三角形．