Question

如图1，已知数轴上两点A，B对应的数分别是﹣1，3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x

（1）A、B两点的距离AB=　   　；

（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，若点P以每秒1个单位的速度从点O出发向右运动，同时点A以每秒5个单位的速度向左运动，点B以每秒20个单位的速度向右运动，在运动的过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由．

Answer

（1）4；（2）当x=﹣1.5或3.5时，PA+PB=5；（3）的值不发生变化，理由详见解析．

【解析】

（1）根据点A、B对应的数，利用两点间的距离公式即可求出AB的长；

（2）分三种情况考虑：①当点P在点A左侧时，由PA+PB=5可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；②当点P在点A、B中间时，由PA+PB=4与PA+PB=5冲突，舍去；③当点P在点B右侧时，由PA+PB=5可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（3）当运动时间为t秒时，找出OP、OA、OB的长度，进而可得出AP的长度，由M、N分别是AP、OB的中点，可得出AM、OM、MN的长度，再代入中即可求出结论．

（1）A、B两点的距离AB=3﹣（﹣1）=4，

故答案为：4；

（2）分三种情况考虑：

①当点P在点A左侧时：PA+PB=|x+1|+|x﹣3|=﹣（x+1）﹣（x﹣3）=﹣2x+2=5，

解得：x=﹣1.5；

②当点P在点A、B中间时：PA+PB=4（舍去）；

③当点P在点B右侧时：PA+PB=|x+1|+|x﹣3|=（x+1）+（x﹣3）=2x﹣2=5，

解得：x=3.5；

综上所述：当x=﹣1.5或3.5时，PA+PB=5；

（3）的值不发生变化，

理由如下：当运动时间为t秒时，则OP=t，OA=5t+1，OB=20t+3，

∴AP=OA+OP=5t+1+t=6t+1，

∴2AP=12t+2，

∵M、N分别是AP、OB的中点，

∴AM=AP=3t+，ON=OB=10t+，

∴OM=OA﹣AM=5t+1﹣（3t+）=2t+，

∴MN=OM+ON=2t++10t+=12t+2，

∴2AP =MN=12t+2，

∴的值不发生变化．