Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为半径作⊙B，交AB于点C，交AB的延长线于点E，连接CD、CE．

（1）求证：△ACD∽△AEC；

（2）当时，求tanE；

（3）若AD=4，AC=4，求△ACE的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

试题(1)、根据直径所对的圆周角为直角以及BC=CE得出∠ACD=∠E，然后根据∠A为公共角得出三角形相似；(2)、设AC=4k，则BC=3k，则AE=8k，根据三角形相似得出tanE==得出答案；(3)、过点E作EH⊥AC，垂足为H.设⊙B的半径为R，根据Rt△ABC的勾股定理得出R的值，然后根据△ABC∽△AEH得出EH的长度，从而求出△ACE的面积.

试题解析：（1）∵DE为⊙B的直径，

∴∠DCE=90°，

∵∠ACB=90°，∠ACD=∠BCE.

∵BC=CE，

∴∠BCE=∠E，

∴∠ACD=∠E，

又∵∠CAD=∠EAC，

∴△ACD∽△AEC；

（2）∵，

设AC=4k，则BC=3k，

∴在Rt△ABC中，AB=5k，BD=3k，AE=AB+BE=8k.

由（1）知：△DCE为直角三角形，

则tanE=.

∵△ACD∽△AEC，

∴===，

即tanE==；

（3）过点E作EH⊥AC，垂足为H.设⊙B的半径为R.

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AB2=AC2+BC2，

∴（4+R）2=（4）2+R2，

解得R=4.

即BC=4，DE=2BC=8，AB=8，AE=12.

∵∠ACB=∠AHE=90°，∠CAB=∠CAE，

∴△ABC∽△AEH，

∴，

即，

解得EH=6，

∴△ACE的面积为AC·EH=×4×6=12