Question

如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是(　　)

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

C

【解析】

根据弧AC=弧CD=弧DB和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出M和A重合时，∠MDE=60°，即可判断③；根据轴对称的性质，求出M的位置，根据圆周角定理求出此时CE为直径，即可得到CE的长，判断④.

∵弧AC=弧CD=弧DB，

∴∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，

故①正确；

∵AB为直径，且点E是点D关于AB的对称点

∴∠E=∠D，AB⊥DE

∴∠CED=∠DOB=30°，

故②正确；

∵M和A重合时，∠MDE=60°，

∴∠MDE+∠E=90°

∴DM⊥CE

故③不正确；

根据轴对称的性质，可知D与E对称，连接CE，根据两点之间线段最短，可知这时的CM+DM最短，

∵∠DOB=∠COD=∠BOE=60°

∴CE为直径，即CE=10，

故④正确.

故选：C.