Question

如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC

（1）求证：DE与⊙O相切；

（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．

Answer

（1）详见解析；（2）5.

【解析】

试题（1）连接OD，由AB是⊙O的直径可得∠ACB=90°，所以∠A+∠ABC=90°，即可证得∠BOD=∠A，从而推出∠ODE=90°，即可得到结论；（2）连接BD，过D作DH⊥BF于H，由弦切角定理得到∠BDE=∠BCD，推出△ACF与△FDB都是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得到FH=BH=BF=1，则FH=1，根据勾股定理得到HD=3，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．

试题解析：（1）证明：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，

∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，

∴∠BOD=∠A，

∵∠AED=∠ABC，

∴∠BOD+∠AED=90°，

∴∠ODE=90°，

即OD⊥DE，

∴DE与⊙O相切；

（2）【解析】
连接BD，过D作DH⊥BF于H，

∵DE与⊙O相切，

∴∠BDE=∠BCD，

∵∠AED=∠ABC，

∴∠AFC=∠DBF，

∵∠AFC=∠DFB，

∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，

∴FH=BH=BF=1，则FH=1，由勾股定理可得HD==3，

在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，

即（OD﹣1）2+32=OD2，

∴OD=5，

∴⊙O的半径是5．