Question

如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1,0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.

(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标．

Answer

（1）y＝－x2－2x＋3，y＝x＋3；（2）M(－1，2)．

【解析】

试题（1）根据题意得出关于a、b、c的方程组，求得a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，根据抛物线的对称性得出点B的坐标，再设出直线BC的解析式，把点B、C的坐标代入即可得出直线BC的解析式；

（2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC，设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，再求得点M的坐标．

试题解析：（1）依题意得：，

解之得：，

∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3，

∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0），

∴B（-3，0），

∴把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，

得，

解得：，

∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；

（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．

把x=-1代入直线y=x+3得，y=2

∴M（-1，2）．

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）．