Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC＝3，∠B＝30°，设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和）。

Answer

（1）直线BC是⊙O的切线；（2）2-

【解析】

(1) 连接OD, 根据平行线判定推出OD//AC, 推出OD⊥BC, 根据切线的判定推出即可;

(2) 根据含有30角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r, AB=2AC=3r, 从而求得半径r的

值,根据S阴影=SΔODB-SΔODE求出答案即可.

（1）【解析】
连接OD

∵OA=OD ∴∠OAD=∠ODA

又AD平分∠BAC

∵∠OAD=∠CAD

∴∠ODA=∠CAD ∴AC∥OD

又∠C=90° ∴OD⊥BC

又点D在⊙O上

∴直线BC是⊙O的切线

（2）在RtΔACB中，∠B=30°∴AB=2AC=6

设⊙O半径为r，则OD=r，OA=r，OB=AB-OA=6-r

在RtΔODB中，∠B=30°∴OB=2OD ∴6-r=r

得r=2，BD=2,∠BOD=60°

S阴影=SΔODB-SΔODE=2-