Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．

Answer

（1）y=x2-3x-4；（2）P点坐标(2,-6)时， △PBC的最大面积为8．

【解析】

解析

(1)由A,B,C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;

(2)过P作PE⊥x轴,交x轴于点E,交直线BC于点F,用P点坐标可表示出PF的长,则可表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标.

【解析】
(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把A,B,C三点坐标代入可得

，计算得出，

抛物线解析株式为y= x2-3x-4;

（2）点P在抛物线上，可设P(t,t2-3t-4),

过P作 PE⊥x轴于点E,交直线BC于点F,如图

B(4,0),C(0,-4),直线BC解析式为y=x-4,

F(t,t-4),

PF=(t-4)-(t2-3t-4)=-t2+4t,

=+=PFOD+PFBE=PF(OE+BE)=

(-t2+4t)4=-2(t-2) 2+8,

当t=2时, 最大值为8,此时t2-3t-4=-6,

当P点坐标为(2,-6)时,△PBC的最大面积为8.