Question

如图，已知矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标是（6，4），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E，且与BC边交于点D．

（1）①求反比例函数的解析式与点D的坐标；②直接写出△ODE的面积；

（2）若P是OA上的动点，求使得“PD+PE之和最小”时的直线PE的解析式．

Answer

（1）①D（1.5，4），②4.5；（2）y=﹣4x+10．

【解析】

试题分析:（1）①连接OE，则O、E、三点共线，则E是OB的中点，即可求得E的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式，进而求得D的坐标；

②根据S△ODE=S△OBC-S△OCD-S△BDE即可求解；

（2）作E关于OA轴的对称点E'，则直线DE'就是所求的直线PE，利用待定系数法即可求解．

试题解析：（1）①连接OB，则O、E、B三点共线．

∵B的坐标是（6，4），E是矩形对角线的交点，

∴E的坐标是（3，2），

∴k=3×2=6，

则函数的解析式是y=．

当y=4时，x=1.5，即D的坐标是（1.5，4）；

②S△OBC=BC•OC=×6×4=12，

S△OCD=OC•CD=×4×1.5=3，

S△BDE=×（6-1.5）×2=4.5，

则S△ODE=S△OBC-S△OCD-S△BDE=12-3-3-4.5=4.5；

（2）作E关于OA轴的对称点E'，则E'的坐标是（3，-2）．

连接E'D，与x轴交点是P，此时PO+PE最小．

设y=mx+n，把E'和D的坐标代入得：

，

解得：，

则直线PE的解析式是y=-4x+10．