Question

如图，为的直径，为上半圆上一点，为下半圆弧的中点，为上一点，满足

（1）求证：为的内心；

（2）延长交于点，作于．若，求的值．

Answer

（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）根据弧、弦、圆心角的关系得到∠DAB=∠DBA=∠ACD=∠BCD=45°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质得到∠BAG=∠CAG，证明结论；
（2）根据角平分线的性质得到= = ，根据正弦的概念、正切的概念计算即可．

证明：（1）∵为下半圆弧的中点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴、分别为、的平分线，

∴为的内心；

（2）∵平分，，

∴，

设，，则，，，

∴．