Question

如图，在 Rt△ABC 中，∠A=30°，∠ACB=90°，点 D 为 AC 中点， 点 E 为 AB 边上一动点，AE=DE，延长 ED 交 BC 的延长线于点 F.

（1）求证：△BEF 是等边三角形；

（2）若 AB=12，求 DE 的长．

Answer

（1）见解析；（2）DE=3．

【解析】

（1）在Rt△ABC 中，∠A=30°，∠ACB=90°，可得∠B=60°，又D 为 AC 中点，AE=DE，可得∠A =∠ADE=30°，可得∠BEF= 60°，△BEF 是等边三角形.

(2) 在 EF 上截取 FG=CF ，连接 CG, 可证得△ADE≌△CDG，AE=CG 设 AE=x，可得BE=12-x，CF=CG=AE=x，BF=6+x，可求x的值，可得DE的长.

（1）A =30°，∠ACB =90°，，

∴∠B=60°．

∵AE=DE，

∴∠A =∠ADE=30°，

∴∠BEF=∠A +∠ADE= 60°．

∴△BEF 是等边三角形．

（2）在 EF 上截取 FG=CF ，连接 CG，

∵∠F=60°，

∴△CFG 为等边三角形．

∴∠FGC =∠F=∠BEF=60°，

∴∠AED =∠CGD，

在△ADE 和△CDG 中，

ADE  CDG，AED  CGD，AD  CD，

∴△ADE≌△CDG（AAS），

∴AE=CG 设 AE=x，则BE=12-x，

∵BC=6，

∴CF=CG=AE=x，

∴BF=6+x，

∴12-x=6+x，，

∴x=3，

∴DE=3．