Question

如图 1，在五边形 ABCDE 中，∠E=90°，BC=DE.连接 AC，AD， 且 AB=AD，AC⊥BC.

（1）求证：AC=AE；

（2）如图 2，若∠ABC=∠CAD，AF 为 BE 边上的中线，求证：AF⊥CD；

（3）如图 3，在（2）的条件下，AE=6，DE=4，则五边形 ABCDE 的面积为_____.

     

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）42

【解析】

(1)由已知可得Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），可得结论；

（2）延长 AF，BC 交于点 G，连接CG，可得∠G=∠EAG，可证明得：△AEF≌△GBF（AAS），可得AE=BG，∠ABG=∠CAD，可证明得△ABG≌△DAC（SAS），∠G=∠ACD，可得结论；

(3) 在（2）的条件下，AE=6，DE=4，则五边形 ABCDE 的面积为42.

（1）∵AC⊥BC，，

∴∠ACB=90°=∠E． 在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中，

AB  AD，BC  DE，

∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），

∴AC=AE.

（2）延长 AF，BC 交于点 G，

∵∠ABC=∠CAD，∠BAC=∠DAE，

∴∠CAD+∠DAE=∠ABC+∠BAC=90°=∠ACB，，

∴BG∥AE，

∴∠G=∠EAG，

在△AEF 和△GBF 中，

AFE  GFB，EAF  G，EF  BF，

∴△AEF≌△GBF（AAS），

∴AE=BG，

∵AC= AE，

∴BG=AC．

∵∠2=∠3，

又∠ABG=∠1+∠2，

∠CAD=∠BAD+∠CAE-∠BAE，，

=180-∠BAE=180-（180-∠1-∠3）=∠1+∠3，

∴∠ABG=∠CAD，

在△ABG 和△DAC 中，

AB  AD，ABG  DAC，BG  AC，

∴△ABG≌△DAC（SAS），

∴∠G=∠ACD，

∵∠ACG=∠ACB= 90° 即：∠ACD+∠GCD=90°，

∴∠G+∠GCD=90°，

∴AF⊥CD；

（3）在（2）的条件下，AE=6，DE=4，则五边形 ABCDE 的面积为42 .