Question

如图 1，点 A(2，1)，点 A 与点 B 关于 y 轴对称，AC∥y 轴，且 AC=3，连接 BC 交 y 轴于点 D.

（1）点 B 的坐标为_____，点 C 的坐标为_____；

（2）如图 2，连接 OC，OC 平分∠ACB，求证：OB⊥OC；

（3）如图 3，在（2）的条件下，点 P 为 OC 上一点，且∠PAC=45°，求点 P 的坐标.

Answer

（1）（-2，1） （2，4）；（2）见解析；（3）P（1,2）

【解析】

(1)由轴对称可得B、C点坐标；

（2）由OC 平分∠ACB，可得∠1=∠2，又∠3=∠2，可得CD=DO，CE⊥y 轴于点 E，连接 AB 交 y 轴于点 F，可证的△CDE≌△BDF（AAS），可得CD=BD，BD=CD=OD，∠DBO=∠DOB，可得OB⊥OC；

（3）连接 BP，作 PQ⊥x 轴于点 Q，由点 A，点 B 关于 y 轴对称 可得∠BAC =90，∠PAC =45，PA 平分∠CAB，可证的OB=OP，可得△BOF≌△POQ（AAS）．可得PQ=BF=2，OQ=OF=1，P（1，2）.

（1）B（-2，1），C（2，4）．

（2）∵OC 平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

∵AC∥y 轴，

∴∠3=∠2，

∴∠1=∠3，

∴CD=DO．

作 CE⊥y 轴于点 E，连接 AB 交 y 轴于点 F，

∵点 A，点 B 关于 y 轴对称，

∴BF⊥y 轴，

∴∠CED=∠BFD，

∵B（-2，1），C（2，4），

∴CE=BF=2，

在△CDE 和△BDF 中，

CED  BFDCDE  BDF，CE  BF，

∴△CDE≌△BDF（AAS）．

∴CD=BD，

∴BD=CD=OD，

∴∠DBO=∠DOB，

∵∠1+∠3+∠DBO+∠DOB=180°，

∴∠3+∠DOB=90°，

∴OB⊥OC；

（3）连接 BP，作 PQ⊥x 轴于点 Q，

∵点 A，点 B 关于 y 轴对称，

∴AB⊥y 轴，

∴∠BAC =90，

∵∠PAC =45，

∴PA 平分∠CAB，

∵OC 平分∠ACB，

∴BP 平分∠ABC．

∴∠BPC=135°，

∴∠BPO=45°．

∵∠BOP=90°，

∴OB=OP，

在△BOF 和△POQ 中，

BFO  PQO，BOF  POQ，OB  OP，

∴△BOF≌△POQ（AAS）．

∴PQ=BF=2，OQ=OF=1，

∴P（1，2）.