Question

观察下列数表

根据数表反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为多少．

（1）第n行与第n列的交叉点上的数应为多少．（用含正整数n的式子表示）

（2）计算左上角2×2的正方形里所有数字之和，即：  在数表中任取几个2×2的正方形，计算其中所有数字之和，归纳你得出的结论．

Answer

第（1）第6行与第6列的交叉点上的数是11，第n行与第n列的交叉点上的数应为（2n﹣1）；（2）四个数的和是n+（﹣n+1）+（﹣n+1）+（n﹣2）=0，结论：任取2×2的正方形上的四个数字的和都是0．

【解析】

观察所给四行可知，第1行与第1列的交叉点上的数是1，第2行与第2列的交叉点上的数是3=2×2﹣1，第3行与第3列的交叉点上的数是5=2×3﹣1，第4行与第4列的交叉点上的数是7=2×4﹣1，据此可求出，第6行与第6列的交叉点上的数；

（1）根据前面观察出的规律，可写出第n行与第n列的交叉点上的数；

（2）根据所得规律，表示出四个数相加即可求出结论.

第1行与第1列的交叉点上的数是1，

第2行与第2列的交叉点上的数是3=2×2﹣1，

第3行与第3列的交叉点上的数是5=2×3﹣1，

第4行与第4列的交叉点上的数是7=2×4﹣1，

所以，第6行与第6列的交叉点上的数是2×6﹣1=11；

（1）第n行与第n列的交叉点上的数应为（2n﹣1）；

（2）1+（﹣2）+（﹣2）+3=4+（﹣4）=0，

设2×2的正方形左上角的数是n（n＞0），则左下角的数是﹣（n+1），右上角的数是﹣（n+1），右下角的数是（n+2），

所以，四个数的和是n﹣（n+1）﹣（n+1）+（n+2）=2n+2﹣2n﹣2=0，

设2×2的正方形左上角的数是n（n＜0），则左下角的数是﹣n+1，右上角的数是﹣n+1，右下角的数是n﹣2，

所以，四个数的和是n+（﹣n+1）+（﹣n+1）+（n﹣2）=0，

结论：任取2×2的正方形上的四个数字的和都是0．