Question

已知反比例函数的图象与直线相交于第一象限、的两点．如图所示，过、两点分别作、轴的垂线，线段、相交与，给出以下结论：①；②四边形是正方形；③若．则的面积是；④点一定在直线上，其中正确命题的个数是几个（ ）

A. 4    B. 3    C. 2    D. 1

Answer

A

【解析】

①先求出直线与两坐标轴的交点坐标可得出△OEF是等腰直角三角形，故E、F两点关于直线y=x对称，再由反比例函数的图象关于直线y=x对称可知A、B两点关于直线y=x对称，故可得出y=x是线段AB的垂直平分线，由此即可得出结论；
②根据AM⊥y轴，BD⊥y轴，AC⊥x轴，BN⊥x轴可得出四边形ACOM与四边形BDON均是长方形，根据OA=OB可知AC=BD，故OC=OD，由此可得出结论；
③设，则B，P（x，x），再由点A在直线y=-x+6上，求出x的值即可得出A点坐标，再由三角形的面积公式求解即可；
④根据点A、B关于直线y=x对称可知，OM=ON，再由AM⊥y轴，AC⊥x轴，BD⊥y轴，BN⊥x轴可知，四边形AMOC与四边形BDON均是矩形，由②知AM=BN，故OC=OD，所以AP=PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上，所以点P在直线y=x上．

①∵令x=0，则y=6，令y=0，则x=6，

∴E(0,6),F(6,0)，

∴E、F两点关于直线y=x对称，

∵反比例函数的图象关于直线y=x对称，

∴A、B两点关于直线y=x对称，

∴y=x是线段AB的垂直平分线，

∴OA=OB，故①正确；

②∵AM⊥y轴，BD⊥y轴，AC⊥x轴，BN⊥x轴，

∴四边形ACOM与四边形BDON均是长方形。

∵OA=OB，A.B两点关于直线y=x对称，

∴AC=BD，

∴OC=OD，

∴四边形OCPD是正方形，故②正确；

③设，则B，,P(x,x)，

∵点A在直线y=−x+6上，

∴解得

∴A(1,5),B(5,1)，

∴BP=AP=5−1=4，

∴故③正确；

④∵点A.B关于直线y=x对称，

∴OM=ON，

∵AM⊥y轴，AC⊥x轴，BD⊥y轴，BN⊥x轴，

∴四边形AMOC与四边形BDON均是矩形，

∵由②知AM=BN，

∴OC=OD，

∴AP=PB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上，

∴点P在直线y=x上，故④正确.

故选：A.