Question

如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、分别在坐标轴上，顶点的坐标为，、分别是、的中点．

(1)若反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点是否在该函数的图象上；

(2)若反比例函数的图象与（包括边界）有公共点，请直接写出的取值范围．

Answer

(1)反比例函数的解析式为，点在函数的图象上；(2)．

【解析】

（1）根据顶点B的坐标为（4，2），M、N分别是AB、BC的中点．得到M点的坐标为（2，2），把M（2，2）代入反比例函数（m≠0）可求出m，确定反比例函数的解析式；再根据B点坐标为（4，2），N点坐标为（4，1），易得N（4，1）满足反比例函数解析式，即可判断点N在该函数的图象上；
（2）由反比例函数（m≠0）的图象与△BMN的边始终有公共点，而M、N都在上，则此时m最小，反比例函数过B点时，m最大，此时m=4×2=8，由此得到m的取值范围．

(1)∵顶点的坐标为，、分别是、的中点，

∴点的坐标为，

把代入反比例函数得，，

∴反比例函数的解析式为；

∵、分别为矩形的边、的中点，且，点坐标为，

∴点坐标为，

∵，

∴点在函数的图象上；

(2)．