Question

如图，直线的解析式为，⊙O是以坐标原点为圆心，半径为1的圆，点P在轴上运动，过点P且与直线l平行（或重合）的直线与⊙O有公共点，则点P的横坐标为整数的点的个数有 _________个．

Answer

5

【解析】

∵直线l的解析式为y=x，

∴∠1=30°，

当过点P且与直线l平行的直线与圆O相切，且切点在第二象限时，如图所示，

此时直线PE与圆O相切，切点为点E，

∵直线l∥PE，∠1=30°，

∴∠EPO=30°，

在Rt△PEO中，OE=1，

可得OP=2OE=2，又P在x轴负半轴上，

∴此时P坐标为（-2，0）；

当过点P且与直线l平行的直线与圆O相切，且切点在第四象限时，如图所示，

此时直线PF与圆O相切，切点为点F，

∵直线l∥PF，∠1=30°，

∴∠FPO=30°，

在Rt△PFO中，OF=1，

可得OP=2OF=2，又P在x轴正半轴上，

∴此时P的坐标为（2，0），

综上，满足题意的点P横坐标p的范围是-2≤p≤2，

则点P的横坐标为整数的点的个数有-2，-1，0，1，2，共5个．