Question

已知平面直角坐标系中两定点、，抛物线过点A，B，与y交于C点，点P（m，n）为抛物线上一点．

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；

（3）当∠PAB=∠ABC时，求点P的坐标．

Answer

【解析】
（1）∵抛物线过点A，B，

∴，解得： ，

∴抛物线的解析式为： .

∴C．

（2）以AB为直径作圆M，与y轴交于点P.则抛物线在圆内的部分，能使∠APB为钝角，

∴M（，0），⊙M的半径=．

∵P是抛物线与y轴的交点，

∴OP=2，

∴MP=

∴P在⊙M上，

∴由抛物线的对称性可知， ，

∴当-1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．

（3）在Rt△OBC中， .

第一种情况：过A作AP∥BC，交抛物线于点P .

∴∠PAB=∠ABC.

过P作PQ⊥AB于Q，

∴.

∵P（m，n）,

∴PQ=n，AQ=m+1

∴.

∴.

解得

∴

第二种情况：点P关于x轴的对称点的坐标为

∴直线AP″的解析式为

∴解得

∴

∴

【解析】试题（1）将A点，B点坐标代入解析式，即可求出解析式，可得 C点坐标；（2）以AB为直径作圆M，与y轴交于点P.因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，根据题意可证得P在⊙M上，由抛物线的对称性可知， ，可得-1＜m＜0，或3＜m＜4；（3）根据题意分两种情况进行讨论，即可得出答案.