Question

已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P．设⊙O的半径为r．

（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：

（2）当点E在直径AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析．

【解析】

试题（1）如图，连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ．由FQ是⊙O直径得到∠QFD+∠Q=90°，又由CD⊥AB得到∠P+∠C=90°，然后利用已知条件即可得到∠QFD=∠P，然后即可证明△FOE∽△POF，最后利用相似三角形的性质即可解决问题；

（2）（1）中的结论成立．如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM．由FM是⊙O直径得到∠M+∠CFM=90°，又由CD⊥AB，得到∠E+∠D=90°，接着利用已知条件即可证明∠CFM=∠E，然后利用已知条件证明△POF∽△FOE，最后利用相似三角形的性质即可证明题目的结论．

试题解析：（1）证明：如图1，连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ．

∵FQ是⊙O直径，

∴∠FDQ=90°．

∴∠QFD+∠Q=90°．

∵CD⊥AB，

∴∠P+∠C=90°．

∵∠Q=∠C，

∴∠QFD=∠P．

∵∠FOE=∠POF，

∴△FOE∽△POF．

∴．

∴OE•OP=OF2=r2．

（2）【解析】
（1）中的结论成立．

理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM．

∵FM是⊙O直径，

∴∠FCM=90°，

∴∠M+∠CFM=90°．

∵CD⊥AB，

∴∠E+∠D=90°．

∵∠M=∠D，

∴∠CFM=∠E．

∵∠POF=∠FOE，

∴△POF∽△FOE．

∴，

∴OE•OP=OF2=r2．