Question

已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以点D为圆心，CD为半径作半圆，分别与边AC、BC相交于点E和点F．如果AB=AC=5，cosB=，AE=1．求：

（1）线段CD的长度；

（2）点A和点F之间的距离．

Answer

（1）DC=2.5；（2）．

【解析】

（1）连接EF，利用圆周角定理得出∠FEC=90°，再利用等腰三角形的性质，结合锐角三角函数得出答案；
（2）利用锐角三角函数得出NC的长，再利用勾股定理得出答案．

（1）连接EF，

∵由题意可得FC是⊙D的直径，

∴∠FEC=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵AB=AC=5，cosB=，AE=1，

∴EC=4，cosB=cos∠ACB===，

解得：FC=5，

则DC=2.5；

（2）连接AF，过点A作AN⊥BC于点N，

∵AB=5，cosB=，

∴BN=4，

∴AN=3，

∵cosC=cosB=，

∴NC=4，

∴FN=1，

∴AF=．