Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），则∠A′BC=______，OA+OB+OC=______.

Answer

90° .

【解析】

（1）先根据三角函数的定义求出∠ABC的度数，再根据旋转的性质得OA=O′A′，BO=BO′，BA′=BA=2，∠OBO′=∠ABA′=60°，∠BO′A′=∠BOA=120°，则∠CBA′=∠CBA+∠ABA′=90°；

（2）先判断△BOO′为等边三角形，所以OO′=BO，∠BOO′=∠BO′O=60°，再证明点C、O、O′、A′共线，从而得到A′C=OC+OB+OA，然后利用勾股定理计算A′C即可．

【解析】
（1）∵∠C=90°，AC=1，BC=，

∴tan∠ABC==，AB=2，

∴∠ABC=30°，

∵将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），

∴OA=O′A′，BO=BO′，BA′=BA=2，∠OBO′=∠ABA′=60°，∠BO′A′=∠BOA=120°，

∴∠A′BC=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°；

（2）∵BO=BO′，∠OBO′=∠ABA′=60°

∴△BOO′为等边三角形，

∴OO′=BO，∠BOO′=∠BO′O=60°，

而∠BOC=120°，

∴∠COO′=∠BOC+∠BOO′=60°+120°=180°，

∴点O′在直线CO上，

同理可得点O、O′、A′共线，

∴A′C=OC+OO′+O′A′=OC+OB+OA，

∵∠CBA′=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°，

∴A′C==，

即OA+OB+OC=．

故答案为90°，．