Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N．

（1）求证：EM=FM；

（2）求证：AC=AN．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据题意可得∠AED+∠DAE=90°，∠CFE+∠CAE=90°，因为∠BAC的平分线AF交CD于E，所以∠DAE=∠CAE，即∠AED=∠CFE，然后根据等腰三角形判定与性质即可得证；

（2）通过“角边角”证明△AMN≌△AMC，即可得AC=AN．

（1）证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴∠AED+∠DAE=90°，∠CFE+∠CAE=90°，

又∵∠BAC的平分线AF交CD于E，

∴∠DAE=∠CAE，

∴∠AED=∠CFE，

又∵∠AED=∠CEF，

∴∠CEF=∠CFE，

又∵CM⊥AF，

∴EM=FM．

（2）证明：∵CN⊥AF，

∴∠AMC=∠AMN=90°，

在△AMN和△AMC中，

，

∴△AMN≌△AMC（SAS），

∴AC=AN．