Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于E，CF⊥BD于F.

(1)求证：CF＝BE；

(2)若BD＝2AE，求证：∠EAD＝∠ABE.

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）根据已知条件证明△ABE≌△BCF即可求证CF＝BE.

（2）由（1）可知：∠ABE＝∠BCF，且AE∥CF所以∠EAD＝∠ACF，只需证明∠ABE＝∠BCF＝∠ACF即可证明出∠EAD＝∠ABE.

证明：(1)∵∠ABC＝90°，CF⊥BD，AE⊥BD，

∴∠ABE＋∠EBC＝90°＝∠EBC＋∠BCF，

∴∠ABE＝∠BCF.

又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝CB，

∴△ABE≌△BCF，

∴CF＝BE.

(2)由(1)知△ABE≌△BCF，

∴BF＝AE，∠ABE＝∠BCF.又∵BD＝BF＋FD＝2AE，

∴BF＝DF.

又∵CF⊥BD于F，∴CB＝CD，

∴CF平分∠ACB.

又∵∠AEB＝∠CFD＝90°，

∴AE∥CF，∴∠EAD＝∠ACF.

∵∠ABE＝∠BCF＝∠ACF，

∴∠EAD＝∠ABE.