Question

如图，AB∥CD，∠A=90°，E是AD边中点，CE平分∠BCD．

（1）求证：BE平分∠ABC；

（2）若AB=2，CD=1，求BC长；

（3）若△BCE的面积为6，求四边形ABCD的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）BC=3；（3）12．

【解析】

（1）作EM⊥BC垂足为M，根据角平分线的判定与性质即可得证；

（2）通过HL证明Rt△CDE≌Rt△CME与Rt△BAE≌Rt△BNE，可得CM=CD，BM=AB，然后相加即可得解；

（3）根据（2）可知Rt△CDE≌Rt△CME与Rt△BAE≌Rt△BNE，则四边形ABCD的面积为△BCE面积的2倍.

（1）证明：作EM⊥BC垂足为M，

∵EC平分∠DCB，ED⊥CD，EM⊥BC，

∴ED=EM，

∵AE=ED，

∴EA=EM，

∵EA⊥AB，EM⊥BC，

∴EB平分∠ABC；

（2）证明：由（1）可知：AE=EM=ED，

在Rt△DEC和Rt△CEM中，

，

∴△ECD≌△ECM（HL））

∴DC=CM，

同理可证：AB=BM，

∴BC=CM+MM=CD+AB=3；

（3）【解析】
由（2）可知：△ECD≌△ECM（HL），

∴S△ECD=S△ECM，同法可证：S△EBM=S△EBA，

∴S四边形ABCD=2•S△BEC，

∵△BCE的面积为6，

∴四边形ABCD的面积为12．