Question

如图，已知在△ABC中，AD、BD分别平分∠CAG、∠EBA，AD∥BC，BD交AC于F，连接CD，

（1）求证：AB=AC．

（2）当∠EBA的大小满足什么条件时，以A，B，F为顶点三角形为等腰三角形？

（3）猜想∠BDC与∠DAC之间的数量关系式，并说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）∠EBA=72°或时，△ABF为等腰三角形；（3）∠BDC+∠DAC=90°.

【解析】

（1）根据平行线的性质可得∠GAD=∠ABC，∠ACB=∠CAD，即∠ABC=∠ACB，则AB=AC；

（2）分①AB与AF不可能相等；②当AF=BF时，③AB=BF时，三种情况讨论，根据三角形的内角和定理进行求解即可；

（3）作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，根据三角形的外角等于其不相邻的两个内角和，可得∠BDC=∠DCH﹣∠DBH=∠ACH﹣∠ABH=（∠ACH﹣∠ABH）=∠BAC，因为∠DAC=×（180°﹣∠A）=90°﹣∠BAC，所以∠BDC+∠DAC=90°.

（1）证明：∵AD平分∠CAG，

∴∠GAD=∠CAD，

∵AD∥BC，

∴∠GAD=∠ABC，∠ACB=∠CAD，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（2））①AB与AF不可能相等；

②当AF=BF时，∠BAF=∠ABF=∠ABC，

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=180°，

∴∠ABC=72°；

③AB=BF时，设∠ABF=∠FBC=x，

则∠ABC=∠ACB=2x，

∴∠BAF=∠BFA=3x，

∴2x+2x+3x=180°，

∴x=，

∴∠EBA=2x=，

综上所述，当∠EBA=72°或时，△ABF为等腰三角形；

（3）∠BDC+∠DAC=90°，

理由如下：作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，

∵AD、BD分别平分∠GAC、∠EBA，DM⊥BG，DN⊥AC，DH⊥BE，

∴DM=DN，DM=DH，

∴DH=DN，

又∵DN⊥AC，DH⊥BE，

∴CD平分∠ADH，即∠DCH=∠ACH，

∴∠BDC=∠DCH﹣∠DBH=∠ACH﹣∠ABH=（∠ACH﹣∠ABH）=∠BAC，

∵∠DAC=×（180°﹣∠A）=90°﹣∠BAC，

∴∠BDC+∠DAC=90°．