Question

如图，抛物线y=﹣x²+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A、B，与x轴的另一个交点为C，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）画出抛物线的图象；

（3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）图象见解析；（3）点N的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．

【解析】

（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b，c的值即可；
（2）依据抛物线解析式为y=-x2+2x+3，列表，描点，连线即可；
（3）先利用配方法求得点D的坐标，当∠DNA=90°时，DN⊥OA，可得到点N的坐标，从而得到AN=2，然后再求得AD的长；当∠N′DA=90°时，依据sin∠DN′A=sin∠ADN可求得AN′的长，从而可得到N′的坐标．

【解析】
（1）将x=0代入AB的解析式y=﹣x+3得：y=3，

∴B（0，3）．

将y=0代入AB的解析式y=﹣x+3得：﹣x+3=0，

解得x=3，

即A（3，0）．

将点A和点B的坐标代入y=﹣x2+bx+c，得：

，

解得：b=2，c=3．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）列表：

抛物线的图象如下：

（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）．

①当∠DNA=90°时，如图所示：

∵∠DNA=90°时，

∴DN⊥OA．

又∵D（1，4）

∴N（1，0）．

∴AN=2．

∵DN=4，AN=2，

∴AD=2．

②当∠N′DA=90°时，则∠DN′A=∠NDA．

∴，

即 ，

解得：AN′=10．

∵A（3，0），

∴N′（﹣7，0）．

综上所述，点N的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．