Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．

（1）连接EF，若运动时间t=　   　时，EF⊥AC；

（2）连接EP，当△EPC的面积为3cm²时，求t的值；

（3）若△EQP∽△ADC，求t的值．

Answer

（1）秒；（2）2秒；（3）2秒.

【解析】

（1）先确定出AC=10，进而得出∠ACB的余弦值，利用三角函数得出CP，CG，即可得出PG，再判断出△PFG∽△EFQ，建立方程即可得出结论，
（2）利用三角形的面积建立方程即可得出结论；
（3）先判断出EQ=CQ，进而得出CE=2CQ，建立方程即可得出结论．

【解析】
（1）如图1，

在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，根据勾股定理得，AC=10，

∵∠B=∠D=∠BCD=90°，FQ⊥BC于Q，

∴四边形CDFQ是矩形，

∴CQ=DF，

由运动知，BE=2t，DF=t，

∴CQ=t，CE=BC﹣BE=8﹣2t，AF=8﹣t，

∴EQ=CE﹣CQ=8﹣3t，

在Rt△ABC中，cos∠ACB=，

在Rt△CPQ中，cos∠ACB=,

∴CP=t，

∵EF⊥AC，

∴∠CGE=90°=∠ABC，

∴∠ACB+∠FEQ=90°，

∵∠ACB+∠BAC=90°，

∴∠FEQ=∠BAC，

∴△ABC∽△EQF．

∴

∴，

∴EQ=，

∴8﹣3t=，

t=秒；

故答案是：秒；

（2）由（1）知，CE=8﹣2t，CQ=t，

在Rt△ABC中，tan∠ACB=，

在Rt△CPQ中，tan∠ACB=，

∴PQ=t，

∵△EPC的面积为3cm2，

∴S△EPC=CE×PQ=×（8﹣2t）×t=3，

∴t=2秒，

即：t的值为2秒；

（3）四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，

∵△EQP∽△ADC，

∴∠CAD=∠QEP，

∴∠ACB=∠QEP，

∴EQ=CQ，

∴CE=2CQ，

由（1）知，CQ=t，CE=8﹣2t，

∴8﹣2t=2t，

∴t=2秒．

即：t的值为2秒．