Question

如图，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点．

求抛物线的解析式；

若直线经过、两点，且与轴交于点，试证明四边形是平行四边形；

点在抛物线的对称轴上运动，请探索：在轴上方是否存在这样的点，使以为圆心的圆经过、两点，并且与直线相切？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（-1，0）B（3，0）C（0，3）

（2）平行四边形

（3）（1，）

【解析】

试题（1）根据顶点式设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，将N（2，3）代入求a，确定抛物线解析式，根据抛物线解析式求点A、B、C的坐标；

（2）根据M、C两点坐标求直线y=kx+t解析式，得出D点坐标，求线段AD，由C、N两点坐标可知CN∥x轴，再求CN，证明CN与AD平行且相等，判断断四边形CDAN是平行四边形；

（3）存在．如图设T（x1，y1），Q（x2，y2），分别过T、Q作TF⊥y轴，QG⊥x轴，联立直线TQ解析式与抛物线解析式，可得x1，y1，x2，y2之间的关系，当以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点时，∠TOQ=90°，利用互余关系可证△TOF∽△QOG，利用相似比得出线段关系，结合x1，y1，x2，y2之间的关系求m的值．

试题解析：（1）A（-1，0）B（3，0）C（0，3）．

（2）直线y=kx+t经过C、M两点，

所以

即k=1，t=3，

直线解析式为y=x+3．

令y=0，得x=-3，

故D（-3，0），即OD=3，又OC=3，

∴在直角三角形COD中，根据勾股定理得：CD==．

连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F．

设过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n，

则，

解得m=1，n=1

所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1

所以DC∥AN．在Rt△ANF中，AF=3，NF=3，

所以AN=，

所以DC=AN．

因此四边形CDAN是平行四边形．

（3）假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0，

则PA是圆的半径且PA2=u2+22过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．

由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，

由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ=

由PQ2=PA2得方程：=u2+22，

解得u=，舍去负值u=，符合题意的u=，

所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，）